Résumé
Dans cette vidéo, le professeur de Khan Academy utilise le théorème des gendarmes pour prouver que la limite de sin(x)/x lorsque x tend vers 0 est égale à 1. En utilisant le cercle unité et les définitions trigonométriques, il démontre visuellement cette égalité. En divisant les aires de différentes parties du cercle, il établit une inégalité qui mène à la conclusion finale. En prenant la valeur absolue des fonctions trigonométriques, il montre que sin(x)/x est toujours positive dans les quadrants 1 et 4.
Points saillants
- Utilisation du théorème des gendarmes pour prouver la limite de sin(x)/x.
- Utilisation du cercle unité et des définitions trigonométriques pour une preuve visuelle.
- Calcul des aires de différentes parties du cercle pour établir une inégalité.
- ➗ Division par la valeur absolue pour montrer que sin(x)/x est toujours positive.
- Utilisation de l’inversion des inégalités pour arriver à la conclusion finale.
Session Q&A
1. Quelle est la limite de sin(x)/x lorsque x tend vers 0 ?
La limite de sin(x)/x lorsque x tend vers 0 est égale à 1. Cette limite peut être prouvée à l’aide du théorème de la limite, ainsi que d’une preuve visuelle impliquant le cercle unité et les concepts trigonométriques.
2. Comment la longueur de la ligne représentant sin(x) est-elle définie dans le cercle unité ?
La longueur de la ligne représentant sin(x) dans le cercle unité est définie comme étant égale à la coordonnée y de n’importe quel point sur le cercle unité.
3. Comment la longueur de la ligne représentant la tangente de x est-elle déterminée dans le contexte de la trigonométrie ?
La tangente de x est déterminée comme étant égale à la longueur opposée divisée par la longueur adjacente dans un triangle rectangle, où la longueur adjacente est égale à 1 dans le cas du cercle unité.
4. Comment est calculée l’aire de la zone comprise entre la ligne représentant sin(x) et l’arc du cercle unité ?
L’aire de cette zone est calculée en prenant en compte la fraction que représente l’angle x par rapport à l’ensemble des radians dans le cercle unité, multipliée par l’aire totale du cercle unité, qui est égale à π.
5. Comment la relation d’inégalité entre la valeur absolue de sin(x), x et la valeur absolue de la tangente de x est-elle établie ?
La relation d’inégalité entre la valeur absolue de sin(x), x et la valeur absolue de la tangente de x est établie en prenant en compte les aires des triangles et de la zone comprise entre la ligne représentant sin(x) et l’arc du cercle unité.
6. Comment la limite de sin(x)/x lorsque x tend vers 0 est-elle démontrée à partir des inégalités établies ?
La limite de sin(x)/x lorsque x tend vers 0 est démontrée en utilisant les inégalités établies et en effectuant des manipulations algébriques pour obtenir la relation finale qui confirme que la limite est égale à 1.
Par. Khan Academy.
