Résumé
Dans cette vidéo, l’orateur explique le calcul des dérivées d’ordre n d’une fonction rationnelle définie par f(x) = 1/x2. Il décompose la fonction en éléments simples pour faciliter le calcul des dérivées successives. En utilisant la décomposition en éléments simples, il démontre comment calculer la dérivée n-ième de f(x) en utilisant la formule de dérivation des fonctions composées. Il explique également l’importance de la décomposition pour simplifier le processus de dérivation et démontre la formule générale pour la dérivée n-ième de f(x).
Points saillants
- Explication du calcul des dérivées d’ordre n d’une fonction rationnelle.
- Utilisation de la décomposition en éléments simples pour simplifier le calcul.
- Application de la formule de dérivation des fonctions composées pour obtenir la dérivée n-ième.
- Importance de la décomposition pour faciliter le processus de dérivation.
- Démonstration de la formule générale pour la dérivée n-ième d’une fonction rationnelle.
- Explication de la dérivation successive et de l’importance de la méthode pour les fonctions complexes.
- Utilisation de la récurrence pour démontrer la propriété des dérivées d’ordre n.
- Conclusion sur la formule finale pour la dérivée n-ième de la fonction f(x) = 1/x2.
Session Q&A
Quel est le sujet de l’article ?
L’article traite du calcul des dérivées nième d’une fonction rationnelle définie sur l’ensemble privé de -1, avec une expression de 1 sur x carré.
Quelle est la méthode utilisée pour calculer la dérivée nième de la fonction ?
La méthode utilisée consiste à transformer l’expression de la fonction en une décomposition en éléments simples, puis à utiliser la dérivation en composant avec une fonction à puissance n + 1.
Pourquoi est-il important de décomposer l’expression de la fonction en éléments simples ?
La décomposition en éléments simples est fructueuse car elle facilite le calcul des dérivées nième, en permettant d’appliquer la dérivation en composant avec une fonction à puissance n + 1.
Quelle est la formule générale pour la dérivée nième de la fonction ?
La dérivée nième de la fonction est donnée par la formule suivante : 1/2 fois la dérivée nième de la fonction 2x, moins un puissant n fois n factorielle sur x plus n + 1.
Comment démontrer la propriété pour toute valeur de n ?
La propriété peut être démontrée par récurrence, en montrant que la formule est vraie pour n = 0, puis en supposant qu’elle est vraie pour un entier k, pour démontrer qu’elle est vraie pour k + 1.
Quelle est la conclusion concernant la dérivée nième de la fonction ?
En conclusion, pour tout entier n, la dérivée nième de la fonction est égale à 1/2 fois la dérivée nième de la fonction 2x, moins un puissant n fois n factorielle sur x plus n + 1.
Par. Maths en prépa avec Hans Amble.
