Résumé
Dans cette vidéo, l’objectif est de trouver la représentation en série entière ou l’approximation en série entière de l’arc tangente de deux x centrée sur zéro. En utilisant la série de Maclaurin, les quatre premiers termes non nuls de l’arc tangente de deux x sont déterminés. Plutôt que de prendre directement les dérivées de l’arc tangente de deux x, une approche astucieuse est utilisée en introduisant une fonction g(x) simple à dériver. En trouvant les dérivées de g(x) et en évaluant les premiers termes de sa série entière centrée sur zéro, une représentation simplifiée est obtenue. En utilisant cette approche, la série entière de l’arc tangente de deux x est trouvée de manière plus efficace en remplaçant les x par quatre x au carré et en multipliant par deux. Ainsi, les premiers termes de la série entière de l’arc tangente de deux x sont déterminés de manière non complexe. Enfin, en prenant l’antidérivée de cette série entière simplifiée, la représentation en série entière de l’arc tangente de deux x est obtenue avec précision.
Points forts
- Trouver la série entière de l’arc tangente de deux x en utilisant une approche astucieuse avec une fonction g(x) facile à dériver.
- Simplification du processus en évaluant les premiers termes de la série entière de g(x) centrée sur zéro.
- Remplacer les x par quatre x au carré et multiplier par deux pour obtenir la série entière de l’arc tangente de deux x.
- Détermination précise des premiers termes de la série entière de l’arc tangente de deux x en évitant la complexité des dérivées multiples.
- Utilisation efficace de l’antidérivée pour obtenir la représentation en série entière finale de l’arc tangente de deux x.
- Importance de choisir une approche stratégique pour simplifier un problème mathématique complexe.
- Application des concepts de séries entières et de Maclaurin pour résoudre des problèmes de calcul différentiel avancés.
Session Q&A
Quelle est la représentation en série entière de l’arc tangente de 2x centrée sur zéro ?
La représentation en série entière de l’arc tangente de 2x centrée sur zéro est approximativement égale à 2x moins 8/3x³ plus 32/5x^5 moins 128/7x^7.
Comment peut-on obtenir la représentation en série entière de l’arc tangente de 2x centrée sur zéro ?
Pour obtenir la représentation en série entière de l’arc tangente de 2x centrée sur zéro, on peut d’abord trouver la représentation en série entière de la fonction dérivée de l’arc tangente de 2x, puis intégrer cette représentation en série entière pour obtenir celle de l’arc tangente de 2x.
Quelle est la fonction dérivée de l’arc tangente de 2x ?
La fonction dérivée de l’arc tangente de 2x est égale à 2/(1+4x²).
Comment la fonction g(x) est-elle utilisée pour simplifier le processus de dérivation dans la recherche de la représentation en série entière de l’arc tangente de 2x centrée sur zéro ?
La fonction g(x) est utilisée pour simplifier le processus de dérivation car ses dérivées sont faciles à calculer, ce qui permet d’obtenir la représentation en série entière de manière plus simple.
Quelle est la clé de l’approche utilisée pour trouver la représentation en série entière de l’arc tangente de 2x centrée sur zéro ?
La clé de l’approche utilisée est de trouver la représentation en série entière d’une fonction plus simple, puis d’utiliser cette représentation pour obtenir celle de l’arc tangente de 2x.
Comment détermine-t-on la constante dans la représentation en série entière de l’arc tangente de 2x centrée sur zéro ?
Pour déterminer la constante dans la représentation en série entière de l’arc tangente de 2x centrée sur zéro, on évalue la fonction à zéro, car la série est centrée sur zéro.
Quelle est la représentation en série entière de la fonction dérivée de l’arc tangente de 2x ?
La représentation en série entière de la fonction dérivée de l’arc tangente de 2x est approximativement égale à 2 – 8x² + 32x⁴ – 128x⁶.
Par. Khan Academy.
