En bref
Dans cette leçon, nous abordons l’intégration de x au carré sur x au carré plus 1 dx. Nous commençons par ajouter 1 et -1 au numérateur, puis divisons le résultat en deux fractions distinctes. En utilisant la substitution trigonométrique avec x égal à tangente de u, nous simplifions l’intégrale pour obtenir x moins l’arc tangente de x plus une constante c. Cela nous donne l’intégrale de x au carré sur x au carré plus 1.
Highlights
- Ajout de 1 et -1 au numérateur pour simplifier l’intégrale.
- Division en deux fractions distinctes pour faciliter le calcul.
- Utilisation de la substitution trigonométrique avec x égal à tangente de u.
- Simplification de l’intégrale pour obtenir x moins l’arc tangente de x plus une constante c.
Session Q&A
Q: Comment intégrer x^2/(x^2+1) dx ?
Il faut d’abord ajouter 1 et -1 au numérateur pour obtenir deux fractions distinctes. Ensuite, on utilise la substitution trigonométrique en posant x égal à la tangente de u et en remplaçant dx par la dérivée de la tangente, soit sec^2(u) du. En utilisant les identités trigonométriques, on simplifie l’expression pour obtenir la réponse finale.
Q: Pourquoi ajouter 1 et -1 au numérateur de x^2/(x^2+1) ?
Ajouter 1 et -1 au numérateur permet de séparer l’expression en deux fractions distinctes, ce qui facilite le processus d’intégration.
Q: Comment simplifier x^2+1/x^2+1 dans le processus d’intégration ?
En simplifiant x^2+1/x^2+1, on obtient simplement 1, ce qui facilite l’intégration en transformant l’expression en l’intégrale de 1dx.
Q: Pourquoi utiliser la substitution trigonométrique dans ce problème d’intégration ?
La substitution trigonométrique est utilisée car en posant x égal à la tangente de u, l’intégrale peut être simplifiée en utilisant les identités trigonométriques, rendant le processus d’intégration plus facile.
Q: Quelle est la réponse finale de l’intégrale de x^2/(x^2+1) dx ?
La réponse finale est x – arctan(x) + c, où c est une constante d’intégration.
Q: Pourquoi utiliser l’identité trigonométrique tan^2(u) + 1 = sec^2(u) dans ce problème ?
L’identité trigonométrique tan^2(u) + 1 = sec^2(u) est utilisée pour simplifier l’intégrale en remplaçant tan^2(u) + 1 par sec^2(u), ce qui facilite le processus d’intégration.
Q: Quelle est la dérivée de la tangente et comment est-elle utilisée dans ce problème d’intégration ?
La dérivée de la tangente est sec^2(u) du, et elle est utilisée pour remplacer dx dans le processus de substitution trigonométrique, facilitant ainsi l’intégration de l’expression.
Par. The Organic Chemistry Tutor.
