Résumé
Dans cette vidéo, nous explorons les limites à l’infini des quotients en analysant le comportement des fonctions lorsque x devient très grand ou très petit. En prenant l’exemple d’une fonction f(x) égale à un polynôme, nous démontrons comment les termes de plus haut degré dans le numérateur et le dénominateur deviennent prédominants à mesure que x augmente ou diminue. En utilisant la logique de simplification des termes dominants, nous parvenons à déterminer que la limite de f(x) lorsque x approche l’infini est égale à 2/3. Cette conclusion est confirmée en examinant le graphique de la fonction, qui montre une asymptote horizontale à y = 2/3, à la fois pour les valeurs positives et négatives de x.
Points saillants
- Analyse des limites à l’infini des quotients de fonctions polynomiales.
- Utilisation de la logique pour déterminer les termes dominants dans le numérateur et le dénominateur.
- Simplification des expressions pour trouver la limite de la fonction.
- Confirmation graphique de l’asymptote horizontale à y = 2/3.
- Application de la même logique pour déterminer la limite lorsque x approche négatif l’infini.
- Importance de comprendre quels termes dominent pour évaluer les limites de fonctions.
- Illustration de concepts clés en calcul différentiel et intégral.
Session Q&A
Quelle est la limite de f de x lorsque x approche l’infini?
La limite de f de x lorsque x approche l’infini est égale à 2/3. Cela signifie que lorsque x devient très grand, la fonction f de x se rapproche de 2/3.
Comment peut-on raisonner pour trouver la limite de f de x lorsque x approche l’infini?
On peut raisonner en examinant le comportement du numérateur et du dénominateur lorsque x devient très grand. En se concentrant sur les termes dominants, on peut simplifier l’expression et trouver la limite.
Quelle est la limite de f de x lorsque x approche moins l’infini?
La limite de f de x lorsque x approche moins l’infini est également égale à 2/3. Cela signifie que lorsque x devient très négatif, la fonction f de x se rapproche de 2/3.
Comment peut-on déterminer s’il y a une asymptote horizontale en examinant le graphique de la fonction?
En examinant le graphique de la fonction, on peut observer si la fonction se rapproche d’une valeur spécifique à mesure que x devient très grand ou très petit, ce qui indiquerait la présence d’une asymptote horizontale.
Quels termes sont dominants lorsque x devient très grand ou très petit dans l’expression de f de x?
Lorsque x devient très grand ou très petit, les termes dominants dans l’expression de f de x sont 4x à la puissance 5 et 6x à la puissance 5, car ils croissent beaucoup plus rapidement que les autres termes.
Comment peut-on simplifier l’expression de f de x pour trouver la limite lorsque x approche l’infini?
Pour simplifier l’expression de f de x lorsque x approche l’infini, on peut diviser chaque terme par la puissance dominante de x dans le numérateur et le dénominateur, ce qui permet d’obtenir la limite de la fonction.
Par. Khan Academy.
